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1[사회조사분석사 2급 필기] 18년 3회차

단순선형회귀모형  $Y_i=\alpha+\beta x_i+e_i\ (i=1,2,\cdots,n)$  에서 최소제곱추정량  $\hat{\alpha}+\hat{\beta}x$  로부터 잔차  $\hat{e}_i=y_i-\hat{y}_i$  로부터 서로 독립이고 등분산인 오차들의 분산  $Var(e_i)=\sigma^2,\ (i=1,2,\cdots,n)$  의 불편추정량을 구하면?

해설

단순선형회귀에서 오차분산  $\sigma^2$ 의 불편추정량은 잔차제곱합을 n−2로 나눈 값, 즉 평균제곱오차(MSE)다.
절편 α와 기울기 β 두 개의 모수를 자료로부터 추정했기 때문에 n개의 잔차 중 두 개분의 자유도가 소모되어 잔차의 자유도가 n−2가 된다.
 $\hat{\sigma}^2=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2}{n-2}=MSE$ 
분모를 n이나 n−1로 두면 기댓값이  $\sigma^2$ 보다 작아져 과소추정(편향)이 생기고, n−3은 설명변수가 두 개인 중회귀모형의 잔차 자유도에 해당한다.

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