정규모집단 N(μ,σ 2 )에서 추출한 확률표본 X 1 ,X 2 ,...X n 의 표본분산 S^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2에 대한 설명으로 옳은 것은?

S 2 은 σ 2 의 불편추정량이다.

S 2 은 카이제곱분포를 따른다.

S 2 의 기댓값은 σ 2 /n이다.

암기장 탐색

앱 설치

오픈채팅

버그 신고

개선 요청

다크모드

정규모집단 N(μ,σ2)에서 추출한 확률표본 X1,X2,...Xn의 표… | [사회조사분석사 2급 필기] 19년 3회차 기출문제 상세 페이지

1[사회조사분석사 2급 필기] 19년 3회차

정규모집단 N(μ,σ²)에서 추출한 확률표본 X₁,X₂,...X_n의 표본분산  $S^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$ 에 대한 설명으로 옳은 것은?

S²은 σ²의 불편추정량이다.

S는 σ의 불편추정량이다

S²은 카이제곱분포를 따른다.

S²의 기댓값은 σ²/n이다.

해설

표본분산  $S^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$ 은 모분산  $\sigma^2$ 의 불편추정량이다.
편차제곱합의 기댓값이  $E\left[\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\right]=(n-1)\sigma^2$ 이므로, 자유도  $n-1$ 로 나누면  $E(S^2)=\sigma^2$ 이 되어 편향이 0이 된다. n으로 나누면 모분산을 과소추정하기 때문에 n-1을 쓰는 것이다.
표준편차는 제곱근이라는 비선형 변환을 거치므로 불편성이 보존되지 않아  $E(S)\neq\sigma$ , 즉 S는 σ의 불편추정량이 아니다.
카이제곱분포를 따르는 것은 S² 자체가 아니라  $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 이며 자유도는  $n-1$ 이다.
S²의 기댓값은  $\sigma^2$ 이고,  $\sigma^2/n$ 은 표본평균의 분산  $\mathrm{Var}(\overline{X})$ 이다.

내용에 오류가 있거나 최신 법령·기준과 다른 부분이 보이면 알려주세요. 확인 후 반영하겠습니다.

💬 자격증 스터디 커뮤니티헷갈리는 문제, 같이 준비하는 사람들에게 물어보세요

→