단순회귀모형 yi=β0+β1xi+εi, εi~N(0,σ2)(i=1,2,… | [사회조사분석사 2급 필기] 20년 1회차 기출문제 상세 페이지

1[사회조사분석사 2급 필기] 20년 1회차

단순회귀모형 y_i=β₀+β₁x_i+ε_i, ε_i~N(0,σ²)(i=1,2,…,n)에서 최소제곱법에 의해 추정된 회귀직선을  $\hat{y}=b_0+b_1 x$  라 할 때, 다음 설명 중 옳지 않은 것은? (단,  $S_x=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2,\ MSE=\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2/(n-2)$  이다.)

추정량 b₁은 평균이 β₁이고, 분산이 σ²/S_xx인 정규분포를 따른다.

추정량 b₀은 회귀직선의 절편 β₀의 불편추정량이다.

MSE 는 오차항 ε_i의 분산 σ²에 대한 불편추정량이다.

는 자유도 각각 1, n-2인 F-분포 F(1,n-2)를 따른다.

해설

기울기 추정량을 표준화한  $\dfrac{b_1-\beta_1}{\sqrt{MSE/S_{xx}}}$  는 자유도 n-2인 t-분포를 따르며, F(1, n-2)를 따르는 것은 이 값을 제곱한 통계량이다.
 $b_1$  의 표준오차가  $\sqrt{MSE/S_{xx}}$  이므로 위 식은 정규분포를 추정된 표준오차로 나눈 t 통계량이 되고,  $\{t(n-2)\}^2=F(1,\,n-2)$  라는 관계에 따라 제곱해야 비로소 F분포가 된다. 따라서 제곱하지 않은 통계량을 F분포라고 한 설명이 옳지 않다.
기울기 추정량이 평균  $\beta_1$ , 분산  $\sigma^2/S_{xx}$  인 정규분포를 따른다: 최소제곱추정량이 정규분포를 따르는 관측값들의 선형결합이므로 성립한다.
절편 추정량이  $\beta_0$  의 불편추정량이다:  $E(b_0)=\beta_0$  이므로 옳다.
MSE가 오차분산의 불편추정량이다: 잔차제곱합을 자유도  $n-2$  로 나눈 값이라  $E(MSE)=\sigma^2$  이 되어 옳다.

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