그림과 같이 선형 스프링으로 지지되는 피스톤-실린더 장치 내부에 있는 … | [건설기계설비기사 필기] 16년 2회차 기출문제 상세 페이지

압력이 체적에 선형으로 변하므로 기체가 한 일은 사다리꼴 넓이인 $W=\dfrac{1}{2}(P_2+P_1)(V_2-V_1)$ 이다.
그림은 위쪽이 선형 스프링에 눌린 피스톤-실린더이고 아래에서 기체를 가열하는 구조다. 피스톤이 올라갈수록 스프링이 더 압축되어 압력이 체적에 비례해 직선으로 증가한다.
기체가 피스톤에 한 일은 $W=\displaystyle\int_{V_1}^{V_2}P\,dV$, 즉 P-V 선도에서 과정선 아래 면적이다. P 가 V 의 1차식이면 그 면적은 두 변이 $P_1$, $P_2$ 이고 높이가 $(V_2-V_1)$ 인 사다리꼴이 된다.
주어진 $P=aV$ 로 직접 적분해도 $W=\displaystyle\int_{V_1}^{V_2}aV\,dV=\dfrac{a}{2}(V_2^2-V_1^2)=\dfrac{1}{2}(P_2V_2-P_1V_1)$ 로 같은 값이다. 따라서 $P_2V_2-P_1V_1$ 만 쓰면 1/2 배를 빠뜨린 값이고, 체적을 더한 $(V_2+V_1)$ 꼴은 사다리꼴의 높이가 될 수 없다.