극좌표계(γ, θ)에서 정상상태 2차원 이상유체의 연속방정식으로 옳은 … | [건설기계설비기사 필기] 18년 3회차 기출문제 상세 페이지

비압축성·정상 2차원 유동의 극좌표 연속방정식은 $\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial (r v_r)}{\partial r} + \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0$이다.
직교좌표의 $\dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial v}{\partial y} = 0$을 극좌표로 옮기면, 반지름 방향으로 나아갈수록 유동 단면이 r에 비례해 넓어지므로 반지름 항은 $r v_r$를 통째로 미분한 뒤 1/r을 곱한 형태가 되고, 원주 방향 미소길이가 $r\,d\theta$이므로 θ 항에도 1/r이 붙는다.
$\dfrac{\partial v_r}{\partial r} + \dfrac{\partial v_\theta}{\partial \theta}$ 꼴은 두 항의 차원이 서로 달라 성립하지 않는다.
$\dfrac{\partial v_r}{\partial r} + \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial v_\theta}{\partial \theta}$ 꼴은 $v_r/r$ 항이 빠져 질량보존이 맞지 않는다.
r을 $v_\theta$ 쪽에 곱한 형태는 반지름 방향 면적 확대를 엉뚱한 항에 적용한 것이다.