그림과 같은 빗금 친 단면을 갖는 중공축이 있다. 이 단면의 O점에 관… | [건설기계설비기사 필기] 20년 1회차 기출문제 상세 페이지

빗금 부분은 안쪽 반지름 $r_1$, 바깥 반지름 $r_2$인 중공 원형 단면이므로 도심 O에 관한 극단면 2차모멘트는 $I_p=\dfrac{\pi}{2}\left(r_2^{\,4}-r_1^{\,4}\right)$이다.
정의 $I_p=\int r^2\,dA$에 두께 $dr$인 링의 면적 $dA=2\pi r\,dr$를 넣어 $r_1$부터 $r_2$까지 적분하면
$I_p=\int_{r_1}^{r_2} 2\pi r^3\,dr = 2\pi\left[\dfrac{r^4}{4}\right]_{r_1}^{r_2}=\dfrac{\pi}{2}\left(r_2^{\,4}-r_1^{\,4}\right)$
지름으로 바꿔 쓰면 $I_p=\dfrac{\pi}{32}\left(d_2^{\,4}-d_1^{\,4}\right)$로 같은 식이다. 계수가 다른 보기들은 다음과 같이 잘못된 것이다.
$\pi\left(r_2^{\,4}-r_1^{\,4}\right)$ — 적분 결과의 $1/2$을 빠뜨린 형태
$\dfrac{\pi}{4}\left(r_2^{\,4}-r_1^{\,4}\right)$ — 중공 원의 축에 대한 단면 2차모멘트 $I_x=I_p/2$ 값
$\dfrac{\pi}{16}\left(r_2^{\,4}-r_1^{\,4}\right)$ — 반지름 기준 식에 지름 기준 계수를 섞은 형태