다음 그림과 같은 부채꼴의 도심(centroid)의 위치 는? | [건설기계설비기사 필기] 20년 2회차 기출문제 상세 페이지

부채꼴의 도심은 꼭짓점 O에서 x̄ = 2R sinα / (3α)만큼 떨어진 곳에 있다.
그림은 O를 꼭짓점으로 X축을 대칭축 삼아 좌우로 각각 α씩 벌어진 반지름 R의 부채꼴이고, x̄는 O에서 도심 C까지의 거리다. 좌우 대칭이므로 도심은 X축 위에 놓인다.
반지름 r, 두께 dr인 얇은 부채꼴 띠의 도심이 r·sinα/α 이고 그 면적이 2αr·dr, 전체 면적이 αR²이므로
$\bar{x}=\dfrac{\displaystyle\int_0^{R}\dfrac{r\sin\alpha}{\alpha}\,(2\alpha r\,dr)}{\alpha R^{2}}=\dfrac{2\sin\alpha\displaystyle\int_0^{R}r^{2}dr}{\alpha R^{2}}=\dfrac{2R\sin\alpha}{3\alpha}$
검산하면 α가 0에 가까워질 때 sinα/α → 1이 되어 x̄ → 2R/3, 즉 가는 막대(삼각형)의 도심과 같아지고, 반원(α = π/2)에서는 4R/3π가 되어 잘 알려진 값과 일치한다. α가 들어가지 않는 2R/3·3R/4 형태나 sinα만 곱한 식은 이 검산을 통과하지 못한다.