18-2어느 작업장에서 얻은 측정값이 16, 24, 30.6, 55.4… | 2018년 산업위생관리기사실기(필답형) 2회차 기출문제 상세 페이지

1.68

[해설]

작업환경 측정치는 대체로 대수정규분포를 따르므로, 흩어진 정도를 나타낼 때 산술표준편차 대신 기하표준편차(GSD)를 쓴다. 계산은 측정치를 모두 상용로그로 바꿔 그 위에서 하는 것이 전부다.

① 기하평균(GM)을 구한다. 4개 값의 곱의 네제곱근이다.

$\mathrm{GM}=\sqrt[4]{16\times24\times30.6\times55.4}=\sqrt[4]{650{,}972}=28.41$

$\log \mathrm{GM}=\log 28.41=1.4533$

② 로그값의 편차제곱합을 구한다.

③ 로그표준편차를 구한다. 표본이므로 $N-1=3$으로 나눈다.

$\log \mathrm{GSD}=\sqrt{\dfrac{\sum(\log x_i-\log \mathrm{GM})^{2}}{N-1}}=\sqrt{\dfrac{0.15271}{3}}=\sqrt{0.05090}=0.2256$

④ 역로그를 취한다.

$\mathrm{GSD}=10^{0.2256}=\mathbf{1.68}$

여기서 가장 흔한 실수가 ②의 편차 계산이다. 편차는 $\log x_i-\log \mathrm{GM}$이지 $\log x_i-\log(\log \mathrm{GM})$이 아니다. ①에서 $\log \mathrm{GM}=1.4533$처럼 이미 로그를 취해 둔 값을 얻어 놓고, ②에서 그 값에 로그를 한 번 더 씌우는 경우가 많다. 로그를 두 번 취하면 편차가 통째로 부풀어 GSD가 몇 배로 커지므로, ①의 결과가 기하평균 자체(28.41)인지 그 로그값(1.4533)인지를 항상 구분해 두어야 한다.

답의 타당성도 확인할 수 있다. GSD는 정의상 1보다 작을 수 없고(1이면 모든 측정치가 같다는 뜻이다), 작업환경 측정치에서는 대개 1.5 ~ 3 사이에 놓인다. 여기서 얻은 1.68은 그 범위 안이다. 실제로 측정치가 16에서 55.4까지 3배 남짓 퍼져 있는 정도이므로 큰 값이 나올 수 없다. 만약 계산 결과가 10을 넘었다면 어딘가에서 로그를 잘못 다룬 것이다.

GSD의 의미는 이렇게 읽는다. 기하평균 28.41에 GSD를 곱하거나 나눈 구간, 즉 $28.41\div1.68\approx16.9$부터 $28.41\times1.68\approx47.7$까지에 측정치의 약 68 %가 들어간다. 산술표준편차가 더하고 빼는 폭이라면 GSD는 곱하고 나누는 배수라는 점이 다르다.