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1[일반기계기사 필기] 16년 1회차
Navier-Stokes 방정식을 이용하여, 정상, 2차원 비압축성 속도장 V=axi-ayj에서 압력을 x, y의 방정식으로 옳게 나타낸 것은? (단, a는 상수이고, 원점에서의 압력은 0이다.)
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해설
압력장은 P = −ρa2(x2+y2)/2이다.
속도장 u = ax, v = −ay는 ∂u/∂x + ∂v/∂y = a − a = 0으로 연속방정식을 만족하고, 2차 도함수가 모두 0이라 점성항 μ∇2V가 사라진다. 따라서 정상·비압축성 Navier–Stokes 식에는 관성항과 압력구배만 남는다.
x방향: ρ(u ∂u/∂x + v ∂u/∂y) = ρ(ax·a) = −∂P/∂x → ∂P/∂x = −ρa2x
y방향: ρ(u ∂v/∂x + v ∂v/∂y) = ρ(−ay)(−a) = −∂P/∂y → ∂P/∂y = −ρa2y두 식을 적분하고 원점에서 P = 0인 조건을 적용하면
P = −ρa2x2/2 − ρa2y2/2 = −(ρa2/2)(x2+y2)
가속도가 a2에 비례하므로 a의 지수는 2여야 하고, 원점에서 멀어질수록 유체가 가속되므로 부호는 음(−)이다.
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