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1[일반기계기사 필기] 16년 1회차

지름 d인 원형단면으로부터 절취하여 단면2차모멘트 I가 가장 크도록 사각형 단면 [폭(b)×높이(h)]을 만들 때 단면 2차 모멘트를 사각형 폭(b)에 관한 식으로 옳게 나타낸 것은?

해설

지름 d인 원에서 잘라낼 수 있는 사각형 중 단면2차모멘트가 최대인 것을 폭 b로 정리하면  $I=\dfrac{\sqrt{3}}{4}b^4$ 이다.
사각형의 대각선이 원의 지름이 되어야 하므로  $b^2+h^2=d^2$ 이고,  $I=\dfrac{bh^3}{12}=\dfrac{b\,(d^2-b^2)^{3/2}}{12}$ 로 쓸 수 있다.
 $\dfrac{dI}{db}=0$ 으로 두면  $(d^2-b^2)-3b^2=0$ , 즉  $d^2=4b^2$ 이므로 b = d/2,  $h=\sqrt{3}\,b$ 가 된다(폭 : 높이 = 1 : √3).
이를 넣으면  $I=\dfrac{b\,(\sqrt{3}b)^3}{12}=\dfrac{3\sqrt{3}\,b^4}{12}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}b^4$ 이다. 단면2차모멘트는 길이의 4제곱 차원이므로 b³ 형태는 차원부터 맞지 않는다.

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