질량과 탄성스프링으로 이루어진 시스템이 그림과 같이 높이 h에서 자유낙… | [일반기계기사 필기] 17년 1회차 기출문제 상세 페이지

1[일반기계기사 필기] 17년 1회차

질량과 탄성스프링으로 이루어진 시스템이 그림과 같이 높이 h에서 자유낙하를 하였다. 그 후 스프링의 반력에 의해 다시 튀어 오른다고 할 때 탄성스프링의 최대 변형량(x_max)은? (단, 탄성스프링 및 밑판의 질량은 무시하고 스프링 상수는 k, 질량은 m, 중력가속도는 g이다. 또한 아래 그림은 스프링의 변형이 없는 상태를 나타낸다.)

해설

낙하 높이 h에 추가 변형 x까지 더한 위치에너지가 모두 스프링 변형에너지로 바뀌므로 x_max = [mg + √((mg)² + 2kmgh)] / k다.
그림에서 h는 스프링이 변형되지 않은 상태까지의 낙하 높이이고, 질량 m은 그 뒤에도 x만큼 더 내려가며 스프링을 누른다. 최대 변형점에서는 속도가 0이므로 에너지 보존식은
 $mg(h+x_{max})=\tfrac{1}{2}kx_{max}^{2}$ 
정리하면  $kx_{max}^{2}-2mg\,x_{max}-2mgh=0$ 이고, 근의 공식에서 물리적으로 의미 있는 양의 근만 취하면
 $x_{max}=\dfrac{2mg+\sqrt{4(mg)^2+8kmgh}}{2k}=\dfrac{mg+\sqrt{(mg)^2+2kmgh}}{k}$ 
낙하하는 동안 내려간 h뿐 아니라 스프링을 누르며 더 내려간 x의 위치에너지도 포함해야 한다는 점이 함정이다.  $\sqrt{2gh}$ (속도 차원이라 길이가 될 수 없다)나  $\sqrt{2mgh/k}$ (x의 위치에너지를 빠뜨린 식)는 이 조건을 만족하지 못하고, 근호 안이  $(mg)^2+kmgh$ 인 식은  $2kmgh$ 의 계수 2가 빠져 있다.

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