다음 그림과 같이 부채꼴의 도심(centroid)의 위치 는? | [일반기계기사 필기] 20년 2회차 기출문제 상세 페이지

결론: 반지름 R, 반정각 α인 부채꼴의 도심은 꼭짓점 O에서 대칭축(X축)을 따라 x̄ = 2R sinα / 3α 만큼 떨어진 곳에 있다.
그림처럼 부채꼴을 꼭짓점 O에서 뻗어 나가는 미소 삼각형(밑변 R dθ, 높이 R)의 모임으로 보면, 각 미소 삼각형의 도심은 O에서 (2/3)R 거리에 있고 대칭축 방향 성분은 (2/3)R cosθ 이다.
전체 벌림각이 2α이므로 면적 A = αR² 이고
x̄ = (1/A)∫−αα (2R/3)cosθ · (R²/2) dθ = (R/3α)[sinθ]−αα = 2R sinα/(3α)
검산으로 확인된다. α → 0(가늘고 긴 삼각형)이면 sinα/α → 1 이라 x̄ → 2R/3 으로 삼각형 도심과 맞고, α = π/2(반원)이면 x̄ = 4R/3π 로 반원 도심과 맞는다. 각 α가 아예 들어가지 않는 2R/3·3R/4 형태나, α로 나누지 않은 (3/4)R sinα 는 이 두 극한을 만족하지 못한다.