경사면에 질량 M의 균일한 원기둥이 있다. 이 원기둥에 감겨 있는 실을… | [일반기계기사 필기] 21년 1회차 기출문제 상세 페이지

미끄럼이 일어나지 않을 조건은 $T\le Mg(3\mu_s\cos\alpha-\sin\alpha)$다. 그림은 경사각 α인 사면 위의 균일 원기둥 M이고, 감겨 있는 실은 접촉점의 정반대편인 꼭대기에서 접선으로 빠져나와 사면과 나란히 위쪽으로 당겨진다.
먼저 접촉점을 기준으로 모멘트를 잡는다. T의 모멘트 팔은 지름 $2r$이고, 접촉점에 대한 관성모멘트는 $I=\tfrac{1}{2}Mr^{2}+Mr^{2}=\tfrac{3}{2}Mr^{2}$이므로
$\tfrac{3}{2}Mr^{2}\cdot\dfrac{a}{r}=2Tr-Mgr\sin\alpha\ \Rightarrow\ \tfrac{3}{2}Ma=2T-Mg\sin\alpha$
이를 사면 방향 운동방정식 $Ma=T+f-Mg\sin\alpha$에 넣어 마찰력을 구하면
$f=\dfrac{T+Mg\sin\alpha}{3}$
구름이 유지되려면 이 마찰력이 최대정지마찰력을 넘지 않아야 하므로 $f\le\mu_s Mg\cos\alpha$, 즉
$T+Mg\sin\alpha\le 3\mu_s Mg\cos\alpha\ \Rightarrow\ T\le Mg(3\mu_s\cos\alpha-\sin\alpha)$
반지름 r은 소거되어 답에 남지 않는다. 마찰한계는 수직항력 $Mg\cos\alpha$에서 나오므로 μs에 붙는 것은 cosα이고, $Mg\sin\alpha$는 그 자체로 마찰력을 요구하는 항이라 T가 쓸 수 있는 여유를 깎아먹으므로 빼는 부호가 된다.