북극과 남극이 일직선으로 관통된 구멍을 통하여, 북극에서 지구 내부를 … | [일반기계기사 필기] 21년 1회차 기출문제 상세 페이지

A점에서의 속력은 약 6.84 km/s다. 중심 O에서 거리 S인 곳의 중력가속도가 $g(S)=g_0\dfrac{S}{R}$로 주어졌으므로, 거리에 비례하는 스프링과 같은 형태의 힘이 된다.
북극(S=R)에서 A점(S=R/2)까지 중력이 한 일은
$W=\displaystyle\int_{R/2}^{R} mg_0\dfrac{S}{R}\,dS=\dfrac{mg_0}{R}\left[\dfrac{S^{2}}{2}\right]_{R/2}^{R}=\dfrac{3}{8}mg_0R$
에너지 보존 $\tfrac{1}{2}mv^{2}=\tfrac{1}{2}mv_0^{2}+W$ 에서
$v^{2}=v_0^{2}+\dfrac{3}{4}g_0R=10^{2}+0.75\times 9.8\times 6.371\times 10^{6}$
$v=\sqrt{4.683\times 10^{7}}\approx 6.84\times 10^{3}\ \mathrm{m/s}$
초기속도 10 m/s는 결과에 거의 영향을 주지 못할 만큼 작다. 지표면의 9.8 m/s²를 S=R일 때의 값으로 놓고 비례식을 세우는 것이 핵심이다.