평판 위를 지나는 경계층 유동에서 경계층 두께가 δ인 경계층 내 속도 … | [일반기계기사 필기] 21년 2회차 기출문제 상세 페이지

배제두께 정의 $\delta^{*}=\int_{0}^{\delta}\left(1-\dfrac{u}{U}\right)dy$ 에 문제의 사인형 속도분포를 넣으면 δ*/δ = 1 − 2/π ≈ 0.363 이 나온다.
먼저 적분항을 계산한다.
$\int_{0}^{\delta}\sin\left(\dfrac{\pi y}{2\delta}\right)dy=\left[-\dfrac{2\delta}{\pi}\cos\dfrac{\pi y}{2\delta}\right]_{0}^{\delta}=\dfrac{2\delta}{\pi}$
따라서 $\delta^{*}=\delta-\dfrac{2\delta}{\pi}$ 이고, $\dfrac{\delta^{*}}{\delta}=1-\dfrac{2}{\pi}=1-0.6366=0.363$ 이다.
배제두께는 점성 때문에 줄어든 유량만큼 벽면이 바깥으로 밀려난 것과 같은 가상 두께라서 항상 경계층 두께보다 작다. 사인형 분포에서는 1 − 2/π 하나로 값이 정해지므로, δ의 절반 이상인 0.5·0.667 같은 값은 이 속도분포에서 나올 수 없다.