2차원 (r, θ) 평면에서 연속방정식은 다음과 같이 주어진다. 비압축… | [일반기계기사 필기] 21년 3회차 기출문제 상세 페이지

2차원 (r, θ) 평면에서 연속방정식은 다음과 같이 주어진다. 비압축성 유동이고 반지름 방향의 속도 Vr은 반지름방향의 거리 r만의 함수이며, 접선방향의 속도 Vθ=0일 때, Vr은 어떤 함수가 되는가?
$\dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial (r\rho V_{r})}{\partial r}+\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial (\rho V_{\theta})}{\partial \theta}=0$
(단, t는 시간, ρ는 밀도이다.)

r에 비례하는 함수

r2에 비례하는 함수

r에 반비례하는 함수

r2에 반비례하는 함수

조건을 넣으면 연속방정식이 r·Vr = 일정으로 줄어들어 Vr은 r에 반비례하는 함수가 된다.
비압축성이면 ρ가 상수이므로 첫 항 ∂ρ/∂t = 0이고, 나머지 항에서 ρ는 밖으로 빠져나온다. 또 Vθ = 0이므로 θ에 대한 세 번째 항도 사라진다.
남는 식은
(1/r)·d(r·Vr)/dr = 0 → d(r·Vr)/dr = 0
∴ r·Vr = C(상수), 즉 Vr = C/r
물리적으로도 반지름 r인 원둘레(2πr)를 지나는 유량이 일정하려면 속도가 r에 반비례해야 하므로 결과가 자연스럽다.