어떤 계의 단위계단 응답이 일 경우 이 계의 단위충격 응답(impuls… | [화공기사 필기] 16년 2회차 기출문제 상세 페이지

단위충격 응답은 단위계단 응답을 시간으로 미분한 것이므로 $\dfrac{t}{\tau^{2}}e^{-t/\tau}$ 가 답이다.
계단입력의 라플라스 변환은 1/s, 충격입력은 1이므로 $Y_{impulse}(s)=s\,Y_{step}(s)$ 이고, 이는 시간영역에서 미분에 해당한다.
실제로 미분하면
$\dfrac{d}{dt}\left[1-\left(1+\dfrac{t}{\tau}\right)e^{-t/\tau}\right]=-\dfrac{1}{\tau}e^{-t/\tau}+\left(1+\dfrac{t}{\tau}\right)\dfrac{1}{\tau}e^{-t/\tau}=\dfrac{t}{\tau^{2}}e^{-t/\tau}$
이 응답은 t = 0에서 0으로 출발해 t = τ에서 최대가 된 뒤 지수적으로 사라지는, 중근을 갖는 2차계의 전형적인 충격응답이다. 계단응답 식을 그대로 옮겨 쓴 형태나 τ의 제곱이 빠진 형태는 미분 결과가 될 수 없다.