G(s)=\dfrac{1}{(s+1)^{3}} 인 공정에 C(s)=K_… | [화공기사 필기] 16년 2회차 기출문제 상세 페이지

1[화공기사 필기] 16년 2회차

 $G(s)=\dfrac{1}{(s+1)^{3}}$  인 공정에  $C(s)=K_c\left(1+\dfrac{1}{2s}\right)$  인 PI 제어기가 연결되었을 때, 폐루프가 안정하기 위한 Kc의 최대치와 임계주파수(critical frequency 또는 phase crossover frequency) 값은?

(4.34, 1.33 (radian/time))

(0.23, 1.33 (radian/time))

(4.34, 2.68 (radian/time))

(0.23, 2.68 (radian/time))

해설

위상이 -180°가 되는 임계주파수는 약 1.33 rad/time이고, 그 주파수에서 진폭비가 1이 되는 K_c의 최대치는 약 4.34이다.
개루프 전달함수는  $G_{OL}(j\omega)=K_c\left(1+\dfrac{1}{2j\omega}\right)\dfrac{1}{(j\omega+1)^{3}}$  이고, 위상 조건은
 $-\tan^{-1}\dfrac{1}{2\omega}-3\tan^{-1}\omega=-180^{\circ}$ 
ω = 1.33을 넣으면  $20.6^{\circ}+3\times 53.1^{\circ}\approx 180^{\circ}$  로 성립한다. ω = 2.68이면 219°가 되어 조건을 만족하지 못한다.
이 주파수에서 진폭비를 1로 두면
 $AR=K_c\sqrt{1+\dfrac{1}{4\omega^{2}}}\cdot\dfrac{1}{\left(\sqrt{1+\omega^{2}}\right)^{3}}=K_c\times 0.23\approx 1$ 
따라서  $K_c\approx 4.34$  이며, 이보다 크면 폐루프가 불안정해진다.

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