x1과 x2는 다음의 미분방정식을 만족할 때 x1과 x2에 대하여 는 … | [화공기사 필기] 16년 2회차 기출문제 상세 페이지

V의 시간변화율이 항상 0 이하이므로 V는 시간에 따라 감소한다.
주어진 관계는 $\dfrac{dx_1}{dt}=x_2$, $\dfrac{dx_2}{dt}=-x_1-x_2$ 이고, 살펴볼 양은 $V=x_1^{2}+x_2^{2}$ 이다.
V를 시간으로 미분해 대입하면
$\dfrac{dV}{dt}=2x_1\dfrac{dx_1}{dt}+2x_2\dfrac{dx_2}{dt}=2x_1x_2+2x_2(-x_1-x_2)=-2x_2^{2}$
$-2x_2^{2}\le 0$ 이므로 V는 결코 커지지 않고, $x_2\neq 0$인 동안 계속 줄어든다.
이는 Lyapunov 함수로 안정성을 판정하는 전형적인 형태로, 상태가 원점으로 수렴함을 뜻한다. 따라서 진동하거나 초기값에 따라 증감이 갈리는 일은 없다.