반경이 R 인 원형파이프를 통하여 비압축성 유체가 층류로 흐를 때의 속… | [화공기사 필기] 18년 2회차 기출문제 상세 페이지

1[화공기사 필기] 18년 2회차

반경이 R 인 원형파이프를 통하여 비압축성 유체가 층류로 흐를 때의 속도분포는 다음 식과 같다. v 는 파이프 중심으로부터 벽 쪽으로의 수직거리 r 에서의 속도이며, V max 는 중심에서의 최대속도이다. 파이프 내에서 유체의 평균속도는 최대속도의 몇 배 인가?

$v = V_{max}\left(1 - \dfrac{r}{R}\right)$

1/2

1/3

1/4

1/5

해설

주어진 선형 속도분포에서 평균속도는 최대속도의 1/3 이다.
평균속도는 단면 전체 유량을 단면적으로 나눈 값이므로, 반경 r에서 두께 dr인 고리의 넓이 2πr dr로 가중해 적분한다.
 $\overline{v}=\dfrac{1}{\pi R^{2}}\int_{0}^{R} V_{max}\left(1-\dfrac{r}{R}\right)2\pi r\,dr$ 
 $=\dfrac{2V_{max}}{R^{2}}\left[\dfrac{r^{2}}{2}-\dfrac{r^{3}}{3R}\right]_{0}^{R}=\dfrac{2V_{max}}{R^{2}}\cdot\dfrac{R^{2}}{6}=\dfrac{V_{max}}{3}$ 
중심 속도와 벽면 0을 단순 산술평균해 1/2로 답하기 쉬운데, 바깥쪽 고리일수록 면적이 커서 가중치가 크므로 실제 평균은 그보다 작은 1/3이 된다.

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