그림의 2단 압축조작에서 각 단에서의 기체는 처음 온도로 냉각 된다고 … | [화공기사 필기] 18년 2회차 기출문제 상세 페이지

중간냉각이 있는 2단 압축에서는 중간압력 P가 P₁과 P₂의 기하평균일 때 전 소요일이 최소가 되므로, 성립해야 할 관계는 P² = P₂P₁ 이다.
그림처럼 P₁·T₁ 로 들어간 기체가 1단에서 P로 압축된 뒤 다시 처음 온도 T₁ 으로 냉각되어 2단에서 P₂ 로 압축되므로, 두 단의 일은 각각 압력비에만 의존한다.
$W = \dfrac{k}{k-1}RT_1\left[\left(\dfrac{P}{P_1}\right)^{(k-1)/k}-1\right] + \dfrac{k}{k-1}RT_1\left[\left(\dfrac{P_2}{P}\right)^{(k-1)/k}-1\right]$
이 합을 중간압력 P로 미분해 0으로 놓으면 $\dfrac{P}{P_1}=\dfrac{P_2}{P}$, 즉 $P=\sqrt{P_1P_2}$ 를 얻는다. 결국 두 단의 압력비를 똑같이 나누는 것이 최소일 조건이다.
중간압력이 아니라 P₂ 나 P₁ 을 제곱한 관계식, 또는 등호가 아닌 부등호 관계는 이 극값 조건을 나타내지 못한다.