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1[화공기사 필기] 19년 3회차

다음 함수를 Laplace 변환할 때 올바른 것은?
 $\dfrac{d^{2}X}{dt^{2}}+2\dfrac{dX}{dT}+2X=2,\ X(0)=X'(0)=0$

해설

Laplace 변환 결과는  $X(s)=\dfrac{2}{s(s^{2}+2s+2)}$ 이다.
주어진 식은 X″ + 2X′ + 2X = 2이고 초기조건이 X(0) = X′(0) = 0으로 모두 0이다. 초기조건이 0이면 미분의 변환에서 초기항이 전부 사라져 2차 미분은 s²X(s), 1차 미분은 sX(s)로 단순해진다.
좌변: s²X(s) + 2sX(s) + 2X(s) = (s² + 2s + 2)X(s)
우변: 상수 2의 변환은 2/s
따라서 (s² + 2s + 2)X(s) = 2/s → X(s) = 2 / [s(s² + 2s + 2)]
분모의 2차식은 원식의 계수를 그대로 받아 1차항 2s와 상수항 2가 와야 하고, 분자에는 우변 상수 2가 그대로 남는다. 상수항을 3이나 1로 바꾸거나 1차항을 s로 줄이면 원래 미분방정식의 계수와 어긋난다.

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