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1[화공기사 필기] 19년 3회차

다음과 같은 2차계의 주파수 응답에서 감쇄 계수 값에 관계없이 위상의 지연이 90°가되는 경우는? (단, τ는 시정수이고, ω는 주파수이다.)
 $G(s)=\dfrac{K}{(\tau s)^{2}+2\zeta\tau s+1}$

ωτ-1일 때

ω=τ일 때

ωτ=√2 일 때

ω=τ² 일 때

해설

ωτ = 1일 때 감쇠계수 ζ 값에 관계없이 위상 지연이 정확히 90°가 된다.
전달함수  $G(s)=\dfrac{K}{(\tau s)^{2}+2\zeta\tau s+1}$ 에 s = jω를 넣으면  $G(j\omega)=\dfrac{K}{1-(\omega\tau)^{2}+2\zeta\tau\omega j}$ 가 되고, 위상각은  $\phi=-\tan^{-1}\dfrac{2\zeta\omega\tau}{1-(\omega\tau)^{2}}$ 이다.
여기서 ωτ = 1이면 분모 1−(ωτ)²이 0이 되어 arctan의 인수가 무한대가 되므로, ζ가 얼마이든 φ = −90°로 고정된다. 이 지점이 바로 고유진동수 ω = 1/τ에 해당한다.
ω와 τ를 같다고 놓거나 ωτ를 √2로 두면 분모가 0이 되지 않아 위상이 ζ에 따라 달라지고, ω를 τ²과 같다고 놓는 조건은 차원조차 맞지 않는다.

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