Y(s)=\dfrac{1}{s^{2}(s^{2}+5s+6)} 함수의 역… | [화공기사 필기] 20년 2회차 기출문제 상세 페이지

분모를 인수분해해 부분분수로 나누면 y(t) = -5/36 + (1/6)t + (1/4)e-2t - (1/9)e-3t가 된다.
$Y(s)=\dfrac{1}{s^{2}(s+2)(s+3)}=\dfrac{a}{s}+\dfrac{b}{s^{2}}+\dfrac{c}{s+2}+\dfrac{d}{s+3}$
계수를 하나씩 구하면 $b=\left.\dfrac{1}{(s+2)(s+3)}\right|_{s=0}=\dfrac{1}{6}$, $c=\left.\dfrac{1}{s^{2}(s+3)}\right|_{s=-2}=\dfrac{1}{4}$, $d=\left.\dfrac{1}{s^{2}(s+2)}\right|_{s=-3}=-\dfrac{1}{9}$, $a=\left.\dfrac{d}{ds}\dfrac{1}{s^{2}+5s+6}\right|_{s=0}=-\dfrac{5}{36}$이다.
따라서 $y(t)=-\dfrac{5}{36}+\dfrac{1}{6}t+\dfrac{1}{4}e^{-2t}-\dfrac{1}{9}e^{-3t}$이고, t=0을 넣으면 -5/36+1/4-1/9=0으로 초기값 조건과 맞는다.
중근 s²에서 반드시 1차항 (1/6)t가 나와야 하므로 t 항이 통째로 빠진 식은 답이 될 수 없다. 또 -5/36을 상수항으로 두지 않고 지수항 묶음 앞의 계수로 곱해 놓은 식은 t=0에서 값이 -25/1296이 되어 초기값 0을 만족하지 못한다.