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관리도에서 의 변동을 , 개개의 데이터가 나타내는 전체의 산포를 , 군내변동을 라 하면 이들 간의 관계식으로 맞는 것은? (단, n은 시료의 크기이다.)
군간변동을 σb2\sigma_b^2σb2라 하면 σxˉ2=σb2+σw2n\sigma_{\bar{x}}^2=\sigma_b^2+\dfrac{\sigma_w^2}{n}σxˉ2=σb2+nσw2, σH2=σb2+σw2\sigma_H^2=\sigma_b^2+\sigma_w^2σH2=σb2+σw2이다. 두 식을 비교하면 nσxˉ2−σH2=(n−1)σb2≥0n\sigma_{\bar{x}}^2-\sigma_H^2=(n-1)\sigma_b^2\ge 0nσxˉ2−σH2=(n−1)σb2≥0, σH2−σw2=σb2≥0\sigma_H^2-\sigma_w^2=\sigma_b^2\ge 0σH2−σw2=σb2≥0이 항상 성립한다.따라서 nσxˉ2≥σH2≥σw2n\sigma_{\bar{x}}^2\ge \sigma_H^2\ge \sigma_w^2nσxˉ2≥σH2≥σw2이다. σxˉ2≥σw2\sigma_{\bar{x}}^2\ge \sigma_w^2σxˉ2≥σw2는 군간변동이 작을 때 성립하지 않으므로 일반적인 관계식이 될 수 없다.
군간변동을 σb2\sigma_b^2σb2라 하면 σxˉ2=σb2+σw2n\sigma_{\bar{x}}^2=\sigma_b^2+\dfrac{\sigma_w^2}{n}σxˉ2=σb2+nσw2, σH2=σb2+σw2\sigma_H^2=\sigma_b^2+\sigma_w^2σH2=σb2+σw2이다. 두 식을 비교하면 nσxˉ2−σH2=(n−1)σb2≥0n\sigma_{\bar{x}}^2-\sigma_H^2=(n-1)\sigma_b^2\ge 0nσxˉ2−σH2=(n−1)σb2≥0, σH2−σw2=σb2≥0\sigma_H^2-\sigma_w^2=\sigma_b^2\ge 0σH2−σw2=σb2≥0이 항상 성립한다.
따라서 nσxˉ2≥σH2≥σw2n\sigma_{\bar{x}}^2\ge \sigma_H^2\ge \sigma_w^2nσxˉ2≥σH2≥σw2이다. σxˉ2≥σw2\sigma_{\bar{x}}^2\ge \sigma_w^2σxˉ2≥σw2는 군간변동이 작을 때 성립하지 않으므로 일반적인 관계식이 될 수 없다.
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