다음 중 f(t)=e^{-at}의 z변환은? | [전기공사기사 필기] 15년 1회차 기출문제 상세 페이지

지수함수를 주기 T로 표본화하면 f(kT) = e−akT 이고, z변환의 정의 F(z) = Σk=0∞ f(kT)z−k 에 넣으면 공비가 e−aTz−1인 등비급수가 된다.
|e−aTz−1| < 1 에서 합은 F(z) = 1/(1 − e−aTz−1) 이고, 분모·분자에 z를 곱해 정리하면 F(z) = z/(z − e−aT) 이다. 보기처럼 표본화 주기를 따로 적지 않는 관례에서는 그대로 z/(z − e−at) 로 쓴다.
분자에 z가 남는 것이 핵심으로, 분자가 1뿐인 형태는 한 샘플만큼 지연이 더 붙은 신호의 변환이 된다. 분모의 부호가 +인 형태도 극점이 z = −e−at 로 옮겨가 부호가 번갈아 바뀌는 수열이 되므로 감쇠 지수함수와 맞지 않는다.
같은 방식으로 단위계단 u(t)의 z변환은 z/(z−1), 램프 t의 z변환은 Tz/(z−1)2 이 된다. 라플라스 변환의 극점 s = −a 가 z평면에서는 z = e−aT 로 옮겨간다는 대응 관계로 기억하면 부호를 헷갈리지 않는다.