f(t) = Ke^{-at}의 z변환은? | [전기공사기사 필기] 15년 2회차 기출문제 상세 페이지

z변환은 함수를 샘플링 주기 T로 뽑은 값의 수열에 대해 정의된다. $f(t)=Ke^{-at}$를 샘플링하면 $f(kT)=K\left(e^{-aT}\right)^{k}$가 되어, 공비가 e−aT인 등비수열이 된다. (문제와 보기는 이 샘플링 주기 T를 소문자 t로 적고 있으므로, 보기의 e−at는 e−aT를 뜻한다.)
등비수열의 z변환 공식 $Z\{r^{k}\}=\dfrac{z}{z-r}$에 r = e−aT를 넣고 상수 K를 곱하면 $F(z)=\dfrac{Kz}{z-e^{-aT}}$를 얻는다.
즉 상수 K는 분자에 곱해지고, 지수항은 분모에서 극점의 위치로 −부호와 함께 들어간다. 분모를 z + e−aT로 쓰거나, 분자를 z만 두고 K를 분모의 지수항에 붙인 식은 유도 과정과 맞지 않는다. 라플라스 변환에서 이 함수의 극점이 s = −a인 것에 대응해, z변환에서는 극점이 z = e−aT로 옮겨진다는 점을 함께 기억하면 좋다.