모두CBT
f(t)=u(t-a)-u(t-b)의 라플라스 변환 F(s)는?
단위계단함수의 시간이동은 시간추이 정리로 다룬다. 기본형이 L{u(t)}=1s\mathcal{L}\{u(t)\}=\dfrac{1}{s}L{u(t)}=s1이고, L{f(t−a)u(t−a)}=e−asF(s)\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}F(s)L{f(t−a)u(t−a)}=e−asF(s)이므로 L{u(t−a)}=1se−as\mathcal{L}\{u(t-a)\}=\dfrac{1}{s}e^{-as}L{u(t−a)}=s1e−as, 같은 방식으로 L{u(t−b)}=1se−bs\mathcal{L}\{u(t-b)\}=\dfrac{1}{s}e^{-bs}L{u(t−b)}=s1e−bs가 된다.주어진 함수는 두 계단함수의 차이므로 라플라스 변환의 선형성에 의해 F(s)=1se−as−1se−bs=1s(e−as−e−bs)F(s)=\dfrac{1}{s}e^{-as}-\dfrac{1}{s}e^{-bs}=\dfrac{1}{s}\left(e^{-as}-e^{-bs}\right)F(s)=s1e−as−s1e−bs=s1(e−as−e−bs)이다.이 f(t)f(t)f(t)는 aaa
단위계단함수의 시간이동은 시간추이 정리로 다룬다. 기본형이 L{u(t)}=1s\mathcal{L}\{u(t)\}=\dfrac{1}{s}L{u(t)}=s1이고, L{f(t−a)u(t−a)}=e−asF(s)\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}F(s)L{f(t−a)u(t−a)}=e−asF(s)이므로 L{u(t−a)}=1se−as\mathcal{L}\{u(t-a)\}=\dfrac{1}{s}e^{-as}L{u(t−a)}=s1e−as, 같은 방식으로 L{u(t−b)}=1se−bs\mathcal{L}\{u(t-b)\}=\dfrac{1}{s}e^{-bs}L{u(t−b)}=s1e−bs가 된다.
주어진 함수는 두 계단함수의 차이므로 라플라스 변환의 선형성에 의해 F(s)=1se−as−1se−bs=1s(e−as−e−bs)F(s)=\dfrac{1}{s}e^{-as}-\dfrac{1}{s}e^{-bs}=\dfrac{1}{s}\left(e^{-as}-e^{-bs}\right)F(s)=s1e−as−s1e−bs=s1(e−as−e−bs)이다.
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