그림과 같이 r=1Ω 저항을 무한히 연결할 때 a-b에서의 합성저항은? | [전기공사기사 필기] 16년 2회차 기출문제 상세 페이지

그림은 위쪽 직렬 저항 r, 아래쪽 직렬 저항 r, 그리고 두 선을 잇는 세로 저항 r 한 조가 오른쪽으로 무한히 반복되는 사다리(ladder) 회로다. 무한 반복이라는 점을 이용하면, 맨 앞 한 조를 떼어내도 남은 회로의 등가저항은 여전히 원래와 같은 $R$이라는 성질을 쓸 수 있다.
a−b 단자에서 보면 위·아래 직렬 저항 2r을 지난 뒤 세로 저항 r과 나머지 무한 회로 R이 병렬로 걸린다. 따라서 $R=2r+\dfrac{rR}{r+R}$이고, 양변에 $(r+R)$을 곱해 정리하면 $R^{2}+rR=2r^{2}+3rR$ 즉 $R^{2}-2rR-2r^{2}=0$이 된다.
근의 공식으로 풀면 $R=\dfrac{2r\pm\sqrt{4r^{2}+8r^{2}}}{2}=r(1\pm\sqrt{3})$인데, 저항은 음수가 될 수 없으므로 $R=r(1+\sqrt{3})$이다. $r=1[\Omega]$이므로 $R=1+\sqrt{3}\approx 2.73[\Omega]$다. 직렬 저항이 위·아래로 두 개(합 2r)라는 점을 놓치고 한 개로만 잡아 $R=r+\dfrac{rR}{r+R}$로 세우면 $R^{2}-rR-r^{2}=0$이 되어 $R=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.62[\Omega]$이라는 보기에 없는 값이 나오므로, 한 단(段)에 직렬 저항이 몇 개인지를 먼저 세는 것이 핵심이다.