다음과 같은 상태방정식의 고유값 λ1, λ2는?\begin{pmatri… | [전기공사기사 필기] 16년 2회차 기출문제 상세 페이지

1[전기공사기사 필기] 16년 2회차

다음과 같은 상태방정식의 고유값 λ₁, λ₂는?
 $\begin{pmatrix}\dot{x}_{1}\\ \dot{x}_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -2\\ -3 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2 & -3\\ -4 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}r_{1}\\ r_{2}\end{pmatrix}$

4,-1

-4,1

6,-1

-6,1

해설

상태방정식 ẋ = Ax + Br 에서 고유값은 시스템 행렬 A 만으로 결정되고 입력 행렬은 관여하지 않는다. 문제의 시스템 행렬은 A = [[1, −2], [−3, 2]] 이다.
특성방정식은 |λI − A| = 0 이므로, λI − A = [[λ−1, 2], [3, λ−2]] 의 행렬식을 구하면 (λ − 1)(λ − 2) − (2)(3) = λ² − 3λ + 2 − 6 = λ² − 3λ − 4 = 0 이 된다.
인수분해하면 (λ − 4)(λ + 1) = 0 이므로 고유값은 λ = 4, −1 이다. 대각합 1 + 2 = 3 이 두 고유값의 합(4 + (−1) = 3)과 같고, 행렬식 1×2 − (−2)(−3) = −4 가 두 고유값의 곱(4 × (−1) = −4)과 같다는 점으로 검산된다. 실수부가 양(+)인 고유값 4 가 있으므로 이 계는 불안정하다.

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