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1[전기공사기사 필기] 18년 1회차

다음 방정식으로 표시되는 제어계가 있다. 이 계를 상태 방정식  $\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)$ 로 나타내면 계수 행렬 A는?
 $\dfrac{d^3}{dt^3}c(t) + 5\dfrac{d^2}{dt^2}c(t) + \dfrac{d}{dt}c(t) + 2c(t) = r(t)$

해설

3계 미분방정식  $\dddot{c}+5\ddot{c}+\dot{c}+2c=r$  을 상태방정식으로 바꿀 때는 상태변수를 낮은 차수 미분부터  $x_1=c,\; x_2=\dot{c},\; x_3=\ddot{c}$  로 잡는다.
그러면  $\dot{x}_1=x_2$ ,  $\dot{x}_2=x_3$  이고, 원식에서 최고차항만 남기면  $\dot{x}_3=\dddot{c}=-2c-\dot{c}-5\ddot{c}+r=-2x_1-x_2-5x_3+r$  이 된다.
이를 행렬로 묶으면 위쪽 두 행은 부대각선에 1이 들어간 (0 1 0), (0 0 1) 이 되고, 마지막 행은 미분방정식 계수를 부호를 바꿔 낮은 차수부터 늘어놓은 (−2 −1 −5) 가 된다. 이 형태를 동반형(phase-variable) 표준형이라 하며, 계수는 항상 마지막 행에만 들어간다.

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