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1[전기공사기사 필기] 18년 2회차

 $\dfrac{d^2}{dt^2}c(t)+5\dfrac{d}{dt}c(t)+4c(t)=r(t)$  와 같은 함수를 상태함수로 변환 하였다. 벡터 A, B의 값으로 적당한 것은?
 $\dfrac{d}{dt}X(t)=AX(t)+Br(t)$

해설

발문의 미분방정식은  $\ddot c(t)+5\dot c(t)+4c(t)=r(t)$  이다. 상태변수를  $x_1=c(t)$ ,  $x_2=\dot c(t)$  로 잡으면  $\dot x_1=x_2$  이고, 원식을 최고차 미분항에 대해 풀면  $\dot x_2=\ddot c=-4x_1-5x_2+r(t)$  가 된다.
두 식을  $\dot X=AX+Br$  형태로 묶으면  $A=\begin{bmatrix}0&1\\-4&-5\end{bmatrix}$ ,  $B=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$  이다. 이런 위상변수 표준형에서는 A의 첫 행이  $[0\ \ 1]$ , 마지막 행이 특성방정식 계수를 부호를 바꿔 낮은 차수부터 나열한 형태가 된다.
검산하면  $|sI-A|=s^2+5s+4$  로 원래 미분방정식의 특성방정식과 정확히 같다. 부호가 양수인 배열은 극점이 우반평면으로 가서 불안정해지고, −4와 −5의 자리가 뒤바뀐 배열은  $s^2+4s+5$  가 되어 계수 5와 4의 대응이 어긋난다.

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