F(s)=\dfrac{1}{s(s+a)} 의 라플라스 역변환은? | [전기공사기사 필기] 18년 2회차 기출문제 상세 페이지

주어진 함수는 $F(s)=\dfrac{1}{s(s+a)}$ 이다. 부분분수 전개를 하면 $\dfrac{1}{s(s+a)}=\dfrac{1}{a}\left(\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{s+a}\right)$ 로 두 개의 1차 항으로 분리된다. 계수 $\dfrac{1}{a}$ 는 극점 $s=0$ 과 $s=-a$ 에서의 유수가 각각 $\dfrac{1}{a}$, $-\dfrac{1}{a}$ 이기 때문에 나온다.
기본 변환쌍 $\dfrac{1}{s}\leftrightarrow u(t)$, $\dfrac{1}{s+a}\leftrightarrow e^{-at}$ 를 각각 적용하면 역변환은 $f(t)=\dfrac{1}{a}\left(1-e^{-at}\right)$ 가 된다.
검산하면 $t=0$ 에서 0, $t\to\infty$ 에서 $\dfrac{1}{a}$ 로 수렴하는데 이는 최종값 정리 $\lim_{s\to0}sF(s)=\dfrac{1}{a}$ 와 일치한다. 지수항 하나만 있는 형태는 정상값이 0이 되고, 계수 $\dfrac{1}{a}$ 가 빠진 $1-e^{-at}$ 형태는 정상값이 1, $a$ 가 분자에 곱해진 형태는 정상값이 $a$ 가 되어 모두 이 최종값 조건을 만족하지 못한다.