\dfrac{d}{dt}x(t)=Ax(t)+Bu(t) , A=\begi… | [전기공사기사 필기] 19년 3회차 기출문제 상세 페이지

상태 천이행렬은 $\phi(t)=e^{At}=\mathcal{L}^{-1}\left[(sI-A)^{-1}\right]$ 로 구한다. 주어진 $A=\begin{bmatrix}-3 & 1\\ 0 & -1\end{bmatrix}$ 에 대해 $sI-A=\begin{bmatrix}s+3 & -1\\ 0 & s+1\end{bmatrix}$ 이고 행렬식은 $(s+3)(s+1)$ 이다.
역행렬을 구하면 $(sI-A)^{-1}=\begin{bmatrix}\dfrac{1}{s+3} & \dfrac{1}{(s+1)(s+3)}\\ 0 & \dfrac{1}{s+1}\end{bmatrix}$ 이며, 비대각 성분은 부분분수로 $\dfrac{1}{(s+1)(s+3)}=\dfrac{0.5}{s+1}-\dfrac{0.5}{s+3}$ 로 분해된다.
각 성분을 역라플라스 변환하면 $\phi(t)=\begin{bmatrix}e^{-3t} & 0.5e^{-t}-0.5e^{-3t}\\ 0 & e^{-t}\end{bmatrix}$ 를 얻는다. 검산으로 t=0을 넣으면 대각선이 1, 비대각이 0인 단위행렬이 되어야 하는데, 부호가 +인 형태나 (2,2)성분이 2e−t인 형태는 이 조건을 만족하지 못한다.