시간함수 f(t)=sinωt의 z 변환은? (단, T는 샘플링 주기이다… | [전기공사기사 필기] 20년 2회차 기출문제 상세 페이지

연속함수 f(t)를 주기 T로 샘플링한 수열 $f(kT) = \sin\omega kT$의 z변환을 구하는 문제다. 오일러 공식으로 $\sin\omega kT = \dfrac{e^{j\omega kT} - e^{-j\omega kT}}{2j}$로 쓰고, $Z[a^k] = \dfrac{z}{z-a}$를 적용한다.
정리하면 $Z[\sin\omega t] = \dfrac{1}{2j}\left(\dfrac{z}{z-e^{j\omega T}} - \dfrac{z}{z-e^{-j\omega T}}\right) = \dfrac{z\sin\omega T}{z^2 - 2z\cos\omega T + 1}$가 된다. 분모의 부호가 −2z cos ωT이고, 분자에 sin ωT가 오는 형태다.
짝을 이루는 공식인 $Z[\cos\omega t] = \dfrac{z(z-\cos\omega T)}{z^2 - 2z\cos\omega T + 1}$와 비교하면 분모는 두 경우가 동일하고 분자만 다르다는 점이 구별 포인트다. 분모에 sin ωT가 들어가거나 +2z cos ωT가 되는 형태는 성립하지 않는다.