시스템행렬 A가 다음과 같을 때 상태천이행렬을 구하면?A = \begi… | [전기공사기사 필기] 20년 3회차 기출문제 상세 페이지

상태천이행렬은 φ(t) = ℒ−1[(sI − A)−1] 로 구한다. 주어진 시스템행렬 $A=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}$ 에 대해 $sI-A=\begin{bmatrix}s&-1\\2&s+3\end{bmatrix}$ 이고, 행렬식은 $s(s+3)+2=s^{2}+3s+2=(s+1)(s+2)$ 이다.
2×2 역행렬 공식을 쓰면 $(sI-A)^{-1}=\dfrac{1}{(s+1)(s+2)}\begin{bmatrix}s+3&1\\-2&s\end{bmatrix}$ 이다.
각 성분을 부분분수로 전개하면 $\dfrac{s+3}{(s+1)(s+2)}=\dfrac{2}{s+1}-\dfrac{1}{s+2}$, $\dfrac{1}{(s+1)(s+2)}=\dfrac{1}{s+1}-\dfrac{1}{s+2}$, $\dfrac{-2}{(s+1)(s+2)}=\dfrac{-2}{s+1}+\dfrac{2}{s+2}$, $\dfrac{s}{(s+1)(s+2)}=\dfrac{-1}{s+1}+\dfrac{2}{s+2}$ 가 된다.
이를 역라플라스 변환하면 $\phi(t)=\begin{bmatrix}2e^{-t}-e^{-2t} & e^{-t}-e^{-2t}\\ -2e^{-t}+2e^{-2t} & -e^{-t}+2e^{-2t}\end{bmatrix}$ 이다. 극점이 s = −1, −2 이므로 지수는 반드시 e−t, e−2t 의 감쇠형이어야 하며(et·e2t 가 들어간 식은 성립하지 않는다), t = 0을 대입해 φ(0) = 단위행렬이 되는지로 검산할 수 있다.