e(t)의 z변환을 E(z)라고 했을 때 e(t)의 초기값 e(0)는? | [전기공사기사 필기] 20년 3회차 기출문제 상세 페이지

z변환의 초기값 정리는 $e(0)=\lim_{z\to\infty}E(z)$이다. E(z)를 $E(z)=e(0)+e(1)z^{-1}+e(2)z^{-2}+\cdots$로 전개해 보면, z를 무한대로 보낼 때 $z^{-1},z^{-2},\cdots$ 항이 모두 0이 되어 첫 항 e(0)만 남는다는 데서 바로 나온다.
반면 z → 1로 보내는 극한은 최종값 정리 $e(\infty)=\lim_{z\to1}(1-z^{-1})E(z)$에 쓰인다. 초기값을 구하면서 (1 − z⁻¹)을 곱하거나 z → 1을 대입하면 최종값을 구하는 셈이 되므로 주의해야 한다.
라플라스 변환의 초기값 정리 $f(0)=\lim_{s\to\infty}sF(s)$, 최종값 정리 $f(\infty)=\lim_{s\to0}sF(s)$와 짝지어 외워두면 혼동을 줄일 수 있다.