함수 f(t) = e-at의 z 변환 함수 F(z)는? | [전기공사기사 필기] 21년 2회차 기출문제 상세 페이지

연속함수 $f(t)=e^{-at}$ 를 주기 T로 샘플링하면 $f(kT)=e^{-akT}=\left(e^{-aT}\right)^{k}$ 인 등비수열이 된다.
정의에 따라 $F(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(e^{-aT}\right)^{k}z^{-k}=\dfrac{1}{1-e^{-aT}z^{-1}}=\dfrac{z}{z-e^{-aT}}$ 이다(수렴조건 $|z|>e^{-aT}$).
즉 분자가 z이고 분모가 z − e−aT 인 형태가 답이다. 라플라스 변환 $\dfrac{1}{s+a}$ 의 극점 s = −a 가 z평면의 $z=e^{-aT}$ 로 사상된다는 점을 기억하면 분모 부호나 지수 부호를 혼동하지 않는다. 참고로 f(t)=1(단위계단)의 z변환은 $\dfrac{z}{z-1}$ 이며, a=0을 대입해 이 결과와 일치하는지로 검산할 수 있다.