다음과 같은 상태방정식으로 표현되는 제어시스템에 대한 특성방정식의 근은… | [전기공사기사 필기] 21년 3회차 기출문제 상세 페이지

상태방정식 ẋ = Ax + Bu 에서 특성방정식은 |sI − A| = 0 으로 구하며, 입력행렬 B는 특성방정식과 무관하다. 주어진 계수행렬은 $A=\begin{bmatrix}0 & 1\\ -2 & -2\end{bmatrix}$ 이다.
sI − A 를 만들면
$sI-A=\begin{bmatrix}s & -1\\ 2 & s+2\end{bmatrix}$
행렬식을 계산하면 $|sI-A|=s(s+2)-(-1)(2)=s^{2}+2s+2$ 이다.
따라서 특성방정식은 s2 + 2s + 2 = 0 이고, 근의 공식으로 풀면
$s=\dfrac{-2\pm\sqrt{4-8}}{2}=\dfrac{-2\pm j2}{2}=-1\pm j$
즉 근은 −1 ± j 이다. 실수부가 음수이므로 이 시스템은 안정하며, 감쇠비 ζ = 2/(2√2) ≒ 0.707 인 대표적인 부족제동 2차계이다. A행렬이 위상변수(제어표준형) 형태이면 맨 아랫줄의 부호를 뒤집은 값이 그대로 특성방정식 계수가 되므로 s2+2s+2 임을 암산으로도 확인할 수 있다.