다음의 상태방정식으로 표현되는 시스템의 상태천이행렬은?\begin{bm… | [전기공사기사 필기] 22년 2회차 기출문제 상세 페이지
1[전기공사기사 필기] 22년 2회차
다음의 상태방정식으로 표현되는 시스템의 상태천이행렬은?
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해설
상태방정식의 계수행렬은 A = [[0, 1], [−3, −4]] 이고, 상태천이행렬은 φ(t) = eAt = L−1[(sI − A)−1] 로 구한다.
sI − A = [[s, −1], [3, s+4]] 이고 행렬식은 s² + 4s + 3 = (s+1)(s+3) 이므로 (sI−A)−1 = 1/((s+1)(s+3)) · [[s+4, 1], [−3, s]] 가 된다. 특성근이 −1, −3이므로 응답은 e−t와 e−3t의 조합으로만 나온다.
각 성분을 부분분수로 나눠 역변환하면 (s+4)/((s+1)(s+3)) → 1.5e−t − 0.5e−3t, 1/((s+1)(s+3)) → 0.5e−t − 0.5e−3t, −3/((s+1)(s+3)) → −1.5e−t + 1.5e−3t, s/((s+1)(s+3)) → −0.5e−t + 1.5e−3t 이다.
따라서 φ(t)는 1행이 (1.5e−t−0.5e−3t, 0.5e−t−0.5e−3t), 2행이 (−1.5e−t+1.5e−3t, −0.5e−t+1.5e−3t)인 행렬이다. t = 0을 대입하면 단위행렬 [[1,0],[0,1]]이 되어야 하므로 이것으로 검산할 수 있고, 지수가 e−4t인 형태는 특성근이 −1, −3인 이 계에서는 나올 수 없다.
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