어떤 선형 시스템이 아래 상태방정식으로 기술될 때, e^{At} 로 정… | [전기기사 필기] 24년 3회차 기출문제 상세 페이지
1[전기기사 필기] 24년 3회차
어떤 선형 시스템이 아래 상태방정식으로 기술될 때, eAt 로 정의되는 천이행렬을 구하면? [dtdx1dtdx2]=[0−21−3][x1x2]
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[2e−t−e−2te−t−e−2t−2e−t+2e−2t−e−t+2e−2t]
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[2e−t−e−3t−2e−t+2e−3te−t−e−3t−e−t+2e−3t]
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[2e−t−e−2t−2e−t+2e−2te−t−e−2t−e−t+2e−2t]
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[e−t−e−2t−e−t+2e−2t2e−t−e−2t−2e−t+2e−2t]
해설
천이행렬은 ϕ(t)=eAt=L−1[(sI−A)−1] 로 얻는다. A=[0−21−3] 이므로 sI−A=[s2−1s+3], ∣sI−A∣=s2+3s+2=(s+1)(s+2), (sI−A)−1=(s+1)(s+2)1[s+3−21s] 이다. 네 성분을 부분분수로 분해하면 (s+1)(s+2)s+3=s+12−s+21, (s+1)(s+2)1=s+11−s+21, (s+1)(s+2)−2=s+1−2+s+22, (s+1)(s+2)s=s+1−1+s+22 가 되고, 역라플라스 변환을 취하면 ϕ(t)=[2e−t−e−2t−2e−t+2e−2te−t−e−2t−e−t+2e−2t] 이다. 역산으로 확인하면 ϕ(0)=I 이고 dtdϕt=0=[0−21−3]=A 로 두 조건을 모두 만족한다. 특성근이 s=−1,−2 이므로 e−3t 가 섞인 식은 나올 수 없고, 비대각 성분을 맞바꾼 식은 t=0 에서 미분값이 A 와 달라 답이 아니다.
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