\dfrac{dx(t)}{dt}+x(t)=1의 라플라스 변환 X(s)의… | [전기산업기사 필기] 15년 2회차 기출문제 상세 페이지

미분방정식 $\dfrac{dx(t)}{dt}+x(t)=1$ 의 양변을 라플라스 변환한다. 초기값이 $x(0)=0$ 이므로 미분항은 $\mathcal{L}\left[\dfrac{dx(t)}{dt}\right]=sX(s)-x(0)=sX(s)$ 이고, 우변의 상수 1(단위계단 입력)은 $\dfrac{1}{s}$ 로 변환된다.
따라서 $sX(s)+X(s)=\dfrac{1}{s}$, 즉 $(s+1)X(s)=\dfrac{1}{s}$ 이므로 $X(s)=\dfrac{1}{s(s+1)}$ 가 된다.
우변의 1 을 변환하지 않고 그대로 두면 $\dfrac{1}{s+1}$ 꼴이 나오고 좌우를 뒤집으면 $s(s+1)$ 이 되므로, 계단입력의 변환 $\dfrac{1}{s}$ 을 빠뜨리지 않는 것이 요점이다. 실제로 역변환하면 $x(t)=1-e^{-t}$ 로 시정수 1초의 지수 상승 응답이 되어 결과가 타당하다.