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1[전기산업기사 필기] 16년 1회차

 $\dfrac{E_0(s)}{E_i(s)} = \dfrac{1}{s^2 + 3s + 1}$ 의 전달함수를 미분방정식으로 표시하면? (단,  $\mathcal{L}^{-1}[E_0(s)] = e_0(t),\; \mathcal{L}^{-1}[E_i(s)] = e_i(t)$ )

 $\dfrac{d^2}{dt^2}e_0(t)+3\dfrac{d}{dt}e_0(t)+e_0(t)=e_i(t)$

 $\dfrac{d^2}{dt^2}e_i(t)+3\dfrac{d}{dt}e_i(t)+e_i(t)=e_0(t)$

 $\dfrac{d^2}{dt^2}e_i(t)+3\dfrac{d}{dt}e_i(t)+\int e_i(t)dt=e_0(t)$

 $\dfrac{d^2}{dt^2}e_0(t)+3\dfrac{d}{dt}e_0(t)+\int e_0(t)dt=e_i(t)$

해설

전달함수  $\dfrac{E_0(s)}{E_i(s)}=\dfrac{1}{s^2+3s+1}$ 을 분모를 없애 정리하면  $\left(s^2+3s+1\right)E_0(s)=E_i(s)$ 가 된다. 즉 분모 다항식은 출력  $E_0$ 에 곱해지고, 분자는 입력  $E_i$ 에 곱해진다.
초기값을 0으로 두고 역라플라스 변환하면  $s$ 는  $\dfrac{d}{dt}$ ,  $s^2$ 는  $\dfrac{d^2}{dt^2}$ 로 대응된다. 따라서  $\dfrac{d^2}{dt^2}e_0(t)+3\dfrac{d}{dt}e_0(t)+e_0(t)=e_i(t)$ 가 얻어진다.
주의할 점은 두 가지다. 첫째, 미분항이 붙는 쪽은 입력이 아니라 출력이다(입·출력을 바꾸면 전달함수가 역수가 된다). 둘째, 상수항 1은  $e_0(t)$  그대로이며 적분항  $\int e_0\,dt$ 가 아니다 — 적분이 나오려면 분모에  $1/s$  항이 있어야 한다.

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