F(s)=\dfrac{s+1}{s^2+2s} 의 역라플라스 변환은? | [전기산업기사 필기] 17년 1회차 기출문제 상세 페이지

1[전기산업기사 필기] 17년 1회차

 $F(s)=\dfrac{s+1}{s^2+2s}$  의 역라플라스 변환은?

 $\dfrac{1}{2}(1-e^{-t})$

 $\dfrac{1}{2}(1-e^{-2t})$

 $\dfrac{1}{2}(1+e^{-t})$

 $\dfrac{1}{2}(1+e^{-2t})$

해설

분모를 인수분해하면  $F(s)=\dfrac{s+1}{s^2+2s}=\dfrac{s+1}{s(s+2)}$ 가 되어 극점이 s=0, s=−2인 서로 다른 두 실근 형태다. 따라서 부분분수 전개로 바로 풀 수 있다.
 $\dfrac{s+1}{s(s+2)}=\dfrac{A}{s}+\dfrac{B}{s+2}$ 에서  $A=\left.\dfrac{s+1}{s+2}\right|_{s=0}=\dfrac{1}{2}$ ,  $B=\left.\dfrac{s+1}{s}\right|_{s=-2}=\dfrac{-1}{-2}=\dfrac{1}{2}$ 이다.
각 항을 역변환하면  $\mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{1}{s}\right]=1$ ,  $\mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{1}{s+2}\right]=e^{-2t}$ 이므로  $f(t)=\dfrac{1}{2}\left(1+e^{-2t}\right)$ 이다.
검산으로 초기값 정리를 쓰면  $f(0)=\lim_{s\to\infty}sF(s)=1$ 이고, 구한 식에 t=0을 넣어도 ½(1+1)=1로 맞는다. 지수의 밑이 −t가 아니라 −2t인 것은 극점이 −2이기 때문이며, 부호가 +인 것은 두 계수가 모두 양수(+½)이기 때문이다.

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