비열이 α+βt+γt 2 로 주어질 때, 온도가 t 1 으로부터 t 2 까지 변화할 때의 평균 비열(C m )의 식은? (단, α, β, γ는 상수이다.)

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비열이 α+βt+γt2로 주어질 때, 온도가 t1으로부터 t2까지 변화… | [에너지관리기사 필기] 20년 1회차 기출문제 상세 페이지

1[에너지관리기사 필기] 20년 1회차

비열이 α+βt+γt²로 주어질 때, 온도가 t₁으로부터 t₂까지 변화할 때의 평균 비열(C_m)의 식은? (단, α, β, γ는 상수이다.)

 $C_m = \alpha + \dfrac{1}{2}\beta(t_2 + t_1) + \dfrac{1}{3}\gamma(t_2^2 + t_2 t_1 + t_1^2)$

 $C_m = \alpha + \dfrac{1}{2}\beta(t_2 - t_1) + \dfrac{1}{3}\gamma(t_2^2 + t_2 t_1 + t_1^2)$

 $C_m = \alpha - \dfrac{1}{2}\beta(t_2 + t_1) + \dfrac{1}{3}\gamma(t_2^2 - t_2 t_1 - t_1^2)$

 $C_m = \alpha - \dfrac{1}{2}\beta(t_2 + t_1) - \dfrac{1}{3}\gamma(t_2^2 + t_2 t_1 - t_1^2)$

해설

평균 비열은 온도 구간 전체에서 필요한 열량을 온도차로 나눈 값으로 정의된다. 즉  $C_m = \dfrac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}(\alpha+\beta t+\gamma t^2)\,dt$  이다.
적분을 수행하면  $\int_{t_1}^{t_2}(\alpha+\beta t+\gamma t^2)dt = \alpha(t_2-t_1)+\dfrac{\beta}{2}(t_2^2-t_1^2)+\dfrac{\gamma}{3}(t_2^3-t_1^3)$  가 된다.
여기서  $t_2^2-t_1^2=(t_2-t_1)(t_2+t_1)$ ,  $t_2^3-t_1^3=(t_2-t_1)(t_2^2+t_2t_1+t_1^2)$  이므로 전체를  $(t_2-t_1)$  로 약분할 수 있다.
따라서 평균 비열은  $C_m=\alpha+\dfrac{1}{2}\beta(t_2+t_1)+\dfrac{1}{3}\gamma(t_2^2+t_2t_1+t_1^2)$  이다. 계수가 모두 더하기 부호이고 2차항 괄호 안이 t₂²+t₂t₁+t₁² 형태여야 한다는 점이 판별의 핵심이며, 뺄셈 부호가 섞인 식들은 세제곱 차의 인수분해를 잘못 적용한 것이다.

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