다음 중 f(t)=e-at의 z변환은? | [전기기사 필기] 15년 1회차 기출문제 상세 페이지

$z$변환은 샘플링한 수열에 대해 $F(z)=\sum_{k=0}^{\infty}f(kT)z^{-k}$로 정의된다. 정의에 직접 넣어 본다.
$F(z)=\sum_{k=0}^{\infty}e^{-akT}z^{-k}=\sum_{k=0}^{\infty}\left(e^{-aT}z^{-1}\right)^{k}$
공비가 $e^{-aT}z^{-1}$인 등비급수이므로 공비의 크기가 1보다 작은 영역에서
$F(z)=\dfrac{1}{1-e^{-aT}z^{-1}}=\dfrac{z}{z-e^{-aT}}$
보기에서는 샘플링 주기를 생략해 $\dfrac{z}{z-e^{-at}}$로 적은 형태이다. 분자가 1이 아니라 $z$인 점이 핵심이며, $a=0$을 넣으면 단위계단의 $z$변환 $\dfrac{z}{z-1}$이 되어 검산도 맞는다.