f(t)=ke-at의 z 변환은? | [전기기사 필기] 15년 2회차 기출문제 상세 페이지

z변환은 $t=nT$에서 표본화한 값으로 만든 급수 $F(z)=\sum_{n=0}^{\infty}f(nT)z^{-n}$ 이다.
표본값이 $f(nT)=Ke^{-anT}$ 이므로
$F(z)=\sum_{n=0}^{\infty}Ke^{-anT}z^{-n}=K\sum_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac{e^{-aT}}{z}\right)^{n}$
공비가 $\dfrac{e^{-aT}}{z}$ 인 무한등비급수이므로
$F(z)=\dfrac{K}{1-e^{-aT}z^{-1}}=\dfrac{Kz}{z-e^{-aT}}$
보기의 표기를 따르면 $\dfrac{Kz}{z-e^{-at}}$ 이다.
지수항은 분모에서 $z$와 빼기로 결합하고, 상수 $K$는 급수 전체의 공통인수이므로 분자에 곱해진다. 라플라스 변환 $\dfrac{K}{s+a}$가 극점 $s=-a$를 갖는 것에 대응해, z평면에서는 극점이 $z=e^{-aT}$에 놓인다.