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1[전기기사 필기] 15년 3회차

무한 평면도체로부터 거리 a[m] 인 곳에 점전하 Q[C]가 있을 때 도체 표면에 유도되는 최대전하밀도는 몇 [C/m²]인가?

 $\dfrac{Q}{2\pi\varepsilon_0a^2}$

 $\dfrac{Q}{4\pi a^2}$

 $-\dfrac{Q}{2\pi a^2}$

 $\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0a^2}$

해설

무한 평면도체 문제는 영상법으로 푼다. 도체를 없애고 대칭 위치  $-a$ 에 영상전하  $-Q$ 를 두면, 도체 표면(평면)에서의 전계는 면에 수직 성분만 남는다.
도체면 위에서 전하 바로 아래 지점으로부터 거리  $r$ 인 곳을 보면, 실전하와 영상전하가 만드는 전계의 수직 성분이 더해져
 $E=2\cdot\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0(a^2+r^2)}\cdot\dfrac{a}{\sqrt{a^2+r^2}}=\dfrac{Qa}{2\pi\varepsilon_0(a^2+r^2)^{3/2}}$ 
도체 표면의 경계조건  $\sigma=-\varepsilon_0E$ (전계가 면으로 들어가므로 음전하)에서
 $\sigma=-\dfrac{Qa}{2\pi(a^2+r^2)^{3/2}}\,[\mathrm{C/m}^2]$ 
크기가 가장 큰 곳은 전하의 바로 밑, 즉  $r=0$ 이므로
 $\sigma_{\max}=-\dfrac{Qa}{2\pi a^3}=-\dfrac{Q}{2\pi a^2}\,[\mathrm{C/m}^2]$ 
유도전하이므로 부호가 음이고, 표면전하밀도는  $\varepsilon_0$ 가 상쇄되어 식에 남지 않는다는 점이 특징이다.

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