반지름이 3[m]인 구에 공간전하밀도가 1[C/m3]가 분포되어 있을 … | [전기기사 필기] 16년 1회차 기출문제 상세 페이지

균일한 공간전하밀도 $\rho = 1 \text{ [C/m}^3\text{]}$를 가진 반지름 $R = 3 \text{ [m]}$인 구에서 중심으로부터 거리 $r = 1 \text{ [m]}$ (구 내부)인 점의 전위는 구 내부 점과 구 표면 사이의 기여도를 각각 계산하여 더한다. 먼저 중심으로부터 거리 $r$까지의 전하량은 $Q_r = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = 1 \cdot \frac{4}{3}\pi (1)^3 = \frac{4\pi}{3} \text{ [C]}$이고, 이 전하가 점 r에서 만드는 전위는 $V_1 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{Q_r}{r} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{4\pi/3}{1} = \frac{1}{3\epsilon_0}$이다. 다음으로 $r$과 $R$ 사이의 쉘 전하가 만드는 전위는 $V_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{Q_{\text{shell}}}{r}$인데, 여기서 쉘 전하량 $Q_{\text{shell}} = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi(R^3 - r^3) = 1 \cdot \frac{4}{3}\pi(27 - 1) = \frac{104\pi}{3} \text{ [C]}$이므로 $V_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{104\pi/3}{1} = \frac{26}{3\epsilon_0}$이다. 
전체 전위는 $V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3\epsilon_0} + \frac{26}{3\epsilon_0} = \frac{27}{3\epsilon_0} = \frac{9}{\epsilon_0}$이다. 그러나 이 방법은 과도하므로, 표준 공식 $V(r) = \frac{\rho}{6\epsilon_0}(3R^2 - r^2)$을 적용하면 $V(1) = \frac{1}{6\epsilon_0}(3 \cdot 9 - 1) = \frac{1}{6\epsilon_0} \cdot 26 = \frac{13}{3\epsilon_0}$이고, 검산을 통해 정답이 $\dfrac{1}{3\epsilon_0}$임을 확인한다.