어떤 공간의 비유전율은 2이고, 전위 V(x,y)=\dfrac{1}{x… | [전기기사 필기] 17년 2회차 기출문제 상세 페이지

전위와 체적전하밀도는 푸아송 방정식으로 연결된다.
$\nabla^2V=-\dfrac{\rho}{\varepsilon}\ \Rightarrow\ \rho=-\varepsilon\nabla^2V$
주어진 $V=\dfrac{1}{x}+2xy^2$를 두 번씩 편미분하면
$\dfrac{\partial V}{\partial x}=-\dfrac{1}{x^2}+2y^2,\qquad\dfrac{\partial^2V}{\partial x^2}=\dfrac{2}{x^3}$
$\dfrac{\partial V}{\partial y}=4xy,\qquad\dfrac{\partial^2V}{\partial y^2}=4x$
$\nabla^2V=\dfrac{2}{x^3}+4x$
점 $\left(\dfrac{1}{2},\,2\right)$를 넣으면 ($y$는 결과에 남지 않는다)
$\nabla^2V=\dfrac{2}{(1/2)^3}+4\times\dfrac{1}{2}=16+2=18$
비유전율이 $2$이므로 $\varepsilon=2\varepsilon_0$이고
$\rho=-2\times8.854\times10^{-12}\times18=-3.19\times10^{-10}\,[\mathrm{C/m^3}]$
$1\,[\mathrm{pC}]=10^{-12}\,[\mathrm{C}]$이므로 $\rho\approx-320\,[\mathrm{pC/m^3}]$이다. 비유전율 $2$를 빠뜨리면 절반인 $-160\,[\mathrm{pC/m^3}]$이 나온다.